Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания
2.3. Анализ чувствительности к устойчивости различных z-форм
Из анализа комфортных отображений следует, что для всех z-форм наиболее неблагоприятной областью на p-плоскости является область вблизи точки (0; 0), так как при этих значениях частоты и коэффициента затухания модуль 
равен 1. В предельной точке (1; 0) на z-плоскости все методы не имеют запаса по устойчивости.
Определим чувствительность z-форм по выражениям 
для областей на границе устойчивости:
(2.20)
Определим 
для каждого метода:
прямая разность:
(2.21)
обратная разность:
(2.22)
метод Тустена:
(2.23)
В связи с громоздкостью выражения (2.18) аналитическое определение предела затруднено, и поэтому, в случае необходимости, для конкретной задачи определяется его численное значение с помощью известных пакетов математических программ.
Проведем исследование скорости изменения модуля z при изменении частоты для каждого метода. Предварительно на основе выражений для модулей z получим графические зависимости модуля каждой z-формы от приведенной частоты ω′ при различных значениях приведенного коэффициента затухания α′, а затем скорость изменения модулей. На рис. 2.6 а, б представлены зависимости 
и 
для метода прямой разности; на рис. 2.7 а, б – для метода обратной разности; на рис. 2.8 а, б – для метода трапеций; на рис. 2.9 а, б – для метода преобразования без потерь при следующих значениях α’: для графика 1 – α’ = –0,1; для графика 2 – α’ = –0,5; для графика 3 – α’ = –0,9.
а б
Рис. 2.6. Зависимости:
а – 
; б – 
для прямой разности
а б
Рис. 2.7. Зависимости:
а – 
; б – 
обратной разности
а б
Рис. 2.8. Зависимости:
а – 
; б – 
для метода трапеций
а б
Рис. 2.9. Зависимости:
а – 
; б – 
для преобразования без потерь
На основе анализа полученных графических зависимостей следует, что наиболее чувствителен к неустойчивости метод прямой разности, а наибольшим запасом по устойчивости обладает метод обратной разности в исследуемом диапазоне частот. Из сравнения графиков 
для метода трапеций и метода преобразования без потерь, которые имеют практически одинаковые отображения областей устойчивости вблизи 
, следует, что наилучшим запасом по устойчивости обладает метод преобразования без потерь, поскольку в диапазоне исследуемых частот графические зависимости расположены на более далеком расстоянии от 
и существует больший запас по сравнению с методом трапеций. Кроме того, анализ графиков 
показывает, что скорость изменения 
при ω′ → 0 в методе преобразования без потерь практически постоянна и меньше, чем у других методов.