Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

6.1.2. Нахождение параметров линейной зависимости вида y(t) = a + bt

Пример. При количественном определении ионов никеля методом бумажной хроматографии были получены следующие высоты пятен диметилглиоксимата никеля (hi ) в зависимости от концентрации никеля (Ci), приведенные во втором и третьем столбцах  табл. 6.1.

Найдем зависимость высоты пика от концентрации определяемого вещества в виде

 h = h0 + а×С .  (6.6)

Применяя метод наименьших квадратов, найдем параметры h0  и  а этой зависимости.

Потребуем, чтобы сумма квадратов отклонений измеренных высот от вычисленного по соотношению (6.6) была наименьшей:

S(hi - h0 - a×Ci)2 = min

i = 1, 2, ..., n.

Из этого условия, дифференцируя его сначала по h0, а затем по а, получаем уравнения:

S(hi - h0 - a×Ci)= 0;

S(hi - h0 - a×Ci)Ci = 0,

т.е. n×h0 + aSCi = Shi ;

(SCi)h0 + aSCi2 = SCihi ,

 Таблица 6.1

Данные для математической обработки результатов  хроматографического определения никеля

i

Ci, мкг

hi, мм

Сi2

1

20.0

86.70

400.0

2

24.8

88.03

615.0

3

30.2

90.32

912.0

4

35.0

91.15

1225.0

5

40.1

93.26

1608.0

6

44.9

94.90

2016.0

7

50.0

96.33

2500.0

Сумма

245.0

640.69

9276.0

Средн.

35.0

91.527

1325.1

  Продолжение табл. 6.1

Ci×hi

h(Ci)

Dhi

Dhi2×104

1734

86.65

+0.05

25

2183

88.21

-0.18

324

2728

89.97

+0.35

1225

3190

91.53

-0.38

1444

3740

93.18

+0.08

64

4261

94.74

+0.16

256

4816

96.40

-0.07

49

22652

-

+0.01

3387

3236

-

-

-

подставляя это выражение для h0  во второе уравнение, приходим к соотношению:

n×Cср(hср - a×Cср) + a×SCi2 = SCihi ,

из него сможем определить а:

а = (SCihi - n×Cсрhср)/(SCi2 - nCср2) =

= [SCihi -(1/n)SCiShj]/[SCi2 - (1/n)(SCi)2 =  (SCihi - CсрShi)/(SCi2 - CсрSCi);

j = 1, 2, ..., n.

После этого находим h:

h= (1/n)Shi - (1/n)SCi×[SCihi - (1/n)SCi×Shj]/

/[SCi2- (1/n)(SCi)2 =

= [(1/n)Shj×SCi2 - (1/n)SCi×SCjhj]/[SCi2 - (1/n)(SCi)2];

i = 1, 2, ..., nj = 1, 2, ..., n.

Рис. 6.3. Эмпирическая зависимость высоты хроматографического пика от концентрации никеля. Точки соответствуют результатам измерений (2-й и 3-й столбцы табл. 6.1)

Подставляя в эти выражения численные значения из табл. 6.1, получаем

 a = (22652 - 35.0×640.69)/(9276 - 35.0×245.0) =

= (22652 - 22424)/(9276 - 8575) = 228/701 = 0.326 мм/мкг;

h0 = (91.527×9276 - 35.0×22652)/701 = (849004 - 792820)/701 = 80.15 мм.

Таким образом, нами окончательно получено

  h = 80.15 + 0.325×C2 = 80.15(1 + 4.05×10-3×C0мм.  (6.7)

Для сравнения во втором, третьем и четвертом столбцах Продолжения табл. 6.1 приведены вычисленные значения высот, а также разности (hi - h) и квадраты этих разностей. На рис. 6.3 изображена зависимость (6.7) и экспериментальные точки. Те же значения и h получены по Приложению I.


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074