Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

ПРОГРАММНОЕ И АЛГОРИТМИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЯ АППАРАТНЫХ КОМПЛЕКСОВ ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА ПИТАЮЩЕЙ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ В РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫХ СЕТЯХ

Горева Т. С., Портнягин Н. Н.,

3.1. Метод выбора базисных вейвлет функций для применения в реализации дискретного вейвлет-преобразования

Набор вейвлетов, в их временном или частотном представлении, может описывать сложный сигнал, причем достаточно точно или с некоторой погрешностью. Вейвлеты имеют явные преимущества в представлении локальных особенностей функций по сравнению с рядом Фурье.

Прямое вейвлет-преобразование означает разложение произвольного входного сигнала на составляющие с использованием базиса в виде совокупности волновых пакетов – вейвлетов, которые характеризуются четырьмя принципиально важными свойствами:

– имеют вид коротких, локализованных во времени (или в пространстве) волновых пакетов с нулевым значением интеграла вейвлет-функций;

– обладают возможностью сдвига по оси времени;

– способны к масштабированию (сжатию-растяжению);

– имеют ограниченный (или локальный) частотный спектр.

Теория вейвлет-преобразования предоставляет широкий спектр базисных функций, но возможность их использования в той или иной конструкции вейвлет-разложения определяется их свойствами. Одномерное вейвлет-преобразование поддерживается не только на уровне функций, но и на уровне специализированного графического интерфейса пользователя (GUI) пакета Wavelet Toolbox. Окно просмотра вейвлетов показано на рис. 3.1. В данном случае в этом окне просматриваются данные о вейвлете Добеши – второго порядка [48].

В окне Wavelet Display имеется возможность выбора типа вейвлета из открывающегося списка в правом верхнем углу окна, а так же уровня декомпозиции и степени итерационного уточнения [34].

Решение проблемы выбора базисной функции является нелегким и играет важную роль в задачах обработки и анализа временных последовательностей. При решении данной задачи выбор базисной вейвлет-функции осуществлялся следующим образом: на начальном этапе, на основе анализа свойств вейвлетов, определялось семейство базисных функций; далее выбор базиса основывался на оценке погрешности аппроксимации.

Определение семейства базисных функций. Важным свойством вейвлетов является свойство ортогональности. Оно позволяет получить компоненты сигнала, параметры которых не коррелируют между собой. Это условие повышает эффективность процедуры последующей оценки параметров модели.

Помимо свойства ортогональности при выборе базиса необходимо учитывать такие важные характеристики вейвлетов как гладкость, размер носителя, число нулевых моментов [100]. Поскольку мы решаем задачу аппроксимации, в качестве основных критериев при выборе базиса естественным будет определить минимизацию числа аппроксимирующих слагаемых и минимизацию погрешности аппроксимации. На основе конструкции вейвлет-разложения минимизация числа аппроксимирующих слагаемых и минимизация погрешности аппроксимации может быть достигнута выбором вейвлет-базиса, обеспечивающего как можно большее число вейвлет-коэффициентов, которые являются пренебрежимо малыми. Определяющими здесь являются такие характеристики вейвлета как число нулевых моментов, гладкость и размер носителя [100].

Рис. 3.1. Окно просмотра вейвлетов Wavelet Display с данными о вейвлете Добеши db2

1. Размер носителя. Размер носителя влияет на погрешность аппроксимации, особенно для конечных функций. Все известные одномерные конструкции вейвлетов приводят к базисам для L2(R). Во многих приложениях, в частности, и для решения нашей задачи, интерес представляет лишь часть вещественной оси. Применяя обычные базисы вейвлетов для разложения функции, мы можем положить функцию равной нулю вне некоторого отрезка [a, b], но это порождает искусственные «скачки» на краях, находящие отражения в коэффициентах разложения. Кроме того, это не эффективно с точки зрения вычислений. Т.е. чем меньше размер носителя, тем меньшую погрешность мы имеем при разложении функции. Важным здесь также является зависимость числа вейвлет-коэффициентов, не являющихся пренебрежимо малыми, от размера носителя. Если функция имеет изолированную особенность в некоторой точке t0 и если t0 находится внутри носителя Ψj,k, то вейвлет-коэффициенты могут иметь большую амплитуду. Если Ψ имеет носитель размера K, то при каждом масштабе 2j имеется K вейвлетов Ψj,k, носители которых содержат t0. Чтобы минимизировать число коэффициентов с большой амплитудой, мы должны использовать функции с наименьшим размером носителя Ψ [100].

2. Число нулевых моментов. Вейвлет Ψ имеет m нулевых моментов, т.е.

Это означает, что вейвлет Ψ ортогонален любому многочлену степени m – 1 (т.е. «пропускает» полиномы степени выше m – 1).

Размер носителя функции и число нулевых моментов априори независимы. Однако для ортогональных функций в работе [76] Добеши доказала, что если Ψ имеет m нулевых моментов, то его носитель имеет наименьший носитель, равный 2m – 1. Таким образом, при выборе вейвлета мы приходим к выбору между числом нулевых моментов и размером носителя. Здесь важно учитывать следующее: если сигнал имеет несколько изолированных особенностей и очень гладкий между этими особенностями, необходимо использовать вейвлет с большим числом нулевых моментов, чтобы на малых масштабах получить большое число малых вейвлет-коэффициентов; если число особенностей нарастает, лучше уменьшить размер носителя ценой уменьшения числа нулевых моментов.

3. Гладкость вейвлета. Известным фактом является, что число нулевых моментов и гладкость вейвлетов связаны друг с другом [76], но характер связи может быть различным в зависимости от вида рассматриваемого семейства базисов.

В работах [75, 76] показано, что, например, для сплайн-фильтров и фильтров Добеши характерно следующее свойство: гладкость вейвлета возрастает с возрастанием числа нулевых моментов. С другой стороны в работе [76] Добеши доказала теорему из которой следует связь нулевых моментов одной функции с регулярностью другой: если вейвлет Ψ ∈ Cm, то автоматически двойственный вейвлет имеет m нулевых моментов. Для гладких функций достижение наилучшей аппроксимации высокочастотных ее компонент обеспечивает в большей степени большое число нулевых моментов, чем регулярность Ψ. Вопреки сказанному, в работе [76] Антонини и соавторы на основе экспериментов показали, что в случае использования полуортогональных вейвлетов при решении задачи сжатия сигналов, лучшие результаты дает более гладкий фильтр с меньшим числом нулевых моментов, чем менее гладкий фильтр с большим числом нулевых моментов. Очевидно, что полученный результат можно объяснить свойствами аппроксимируемых функций. Действительно, результат аппроксимации во многом зависит от структуры сигналов, подлежащих аппроксимации. Этот факт будет учитываться при решении данной задачи на втором этапе выбора базисного вейвлета.

Итак, мы пришли к заключению, что для выполнения выдвинутых нами требований необходимо использовать гладкие функции с наименьшим носителем, наибольшим числом нулевых моментов. Наилучшим семейством в этом смысле является семейство ортогональные вейвлетов Добеши с компактными носителями, поскольку ортогональные вейвлеты Добеши с компактными носителями это единственное ортогональное семейство базисных вейвлет-функций, которые имеют минимальный размер носителя при заданном числе нулевых моментов.

Ортогональные вейвлеты Добеши с компактными носителями – это единственное семейство базисных вейвлет-функций, которые имеют минимальный размер носителя при заданном числе нулевых моментов. И как было отмечено выше, с возрастанием числа нулевых моментов возрастает гладкость вейвлета Добеши. Вейвлеты Добеши вычисляются с помощью сопряженных зеркальных фильтров для конечных импульсных откликов h где есть тригонометрический многочлен:

Чтобы Ψ имел m нулевых моментов, должен иметь нуль порядка m в точке w = π. Чтобы построить тригонометрический многочлен наименьшей степени, вводится множитель , который есть многочлен наименьшей степени, имеющий m нулей при w = π:

Далее конструируется многочлен R(e–iw) минимальной степени k такой, что удовлетворяет уравнению зеркальных квадратурных фильтров:

.

В результате h имеет N = k + m + 1 ненулевых коэффициентов. Добеши доказала, что наименьшая степень R есть k = m – 1. Сопряженный зеркальный фильтр q имеет длину 2m. Когда m = 1, то имеем вейвлет Хаара.

Вейвлеты Добеши, вычисленные с помощью этих сопряженных фильтров, имеют наименьший носитель. Гладкость φ и Ψ одинакова, т.к. Ψ(t) есть конечная линейная комбинация φ(2t – n). Функция Ψ имеет показатель Гельдера α при . Причем гладкость этих вейвлетов возрастает с m. Добеши и Лагариас определили, что при m = 2 вейвлет Ψ имеет гладкость α = 0,55, а при m = 3 α = 1,08, т.е. вейвлет уже непрерывно дифференцируем [76, 100].

Сформулируем основные требования к вейвлет-фильтру [14]:

– наиболее точное выделение высокочастотных составляющих сигнала и основной гармоники;

– минимальное количество уровней декомпозиции;

– наименьшая длина вейвлет фильтра.

В соответствии с первым критерием, необходимо подобрать вейвлет, который позволит наиболее точно восстановить сигнал после прямого и обратного вейвлет-преобразования.

В качестве тестового сигнала, используем сигнал, содержащий высокочастотные искажения импульсного характера. Характеристики сигнала следующие:

– длительность сигнала – 0,2 с;

– частота основной гармоники – 50 Гц;

– количество периодов основной частоты – 10.

Фильтрую основной сигнал f(t) с помощью различных вейвлет-функций ψi,k, будем рассчитывать среднеквадратическое отклонение Δ от синусоидальной функции S(t), содержащей основную гармонику (f1 = 50 Гц) соответствующего сигнала:

(3.1)

Произведем покомпонентное восстановление тестируемого сигнала рис. 3.2 для компонент [2 0], [3 0]. Расчет погрешности Δ будем осуществлять для второго, третьего уровней разложения.

Одна из основополагающих идей вейвлет-представления сигналов заключается в разбивке приближения к сигналу на две составляющие – аппроксимирующую и детализирующую – с последующим их дроблением с целью изменения уровня декомпозиции сигнала рис. 3.3. Это возможно как во временной так и в частотной областях представления сигналов вейвлетами.

В основе непрерывного вейвлет-преобразования лежит использование двух непрерывных и интегрируемых по всей оси t функций:

– вейвлет функция psi ψ(t) с нулевым значением интеграла , определяющая детали сигнала и порождающая детализирующие коэффициенты;

– масштабирующая, или скэйлинг-функция phi φ(t) с единичным значением интеграла , определяющая грубое приближение (аппроксимацию) сигнала и порождающая коэффициенты аппроксимации.

Модель сигнала сети:

(3.2)

Рис. 3.2. Тестируемый сигнал с импульсными помехами

Рис. 3.3. Вейвлет-дерево разложения тестируемого сигнала

Второй критерий представляет собой минимальное количество уровней декомпозиции исследуемого сигнала, при котором достигается наиболее точное представление основной гармоники в его коэффициентах аппроксимации.

Третий критерий – длина вейвлет-фильтра, то есть количество коэффициентов, от этого критерия зависит скорость вычисления вейвлет-преобразования, что является актуальным при непрерывном анализе.

Результаты сравнения фильтров по приведенным выше критериям представлены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Сравнение характеристик вейвлет-фильтров

Наиболее подходящим для решения поставленных задач является вейвлет из семейства Добеши 4-го порядка [14].