Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания
Задачи 8–9 класс
Задача 147. Разбойники Хапок и Глазок делят кучу из 100 монет. Хапок захватывает из кучи пригоршню монет, а Глазок, глядя на пригоршню, решает, кому из двоих она достается. Так продолжается, пока кто-то из них не получит 9 пригоршней, после чего другой забирает все оставшиеся монеты (дележ может закончиться и тем, что монеты будут разделены прежде, чем кто-то получит 9 пригоршней). Хапок может захватить в пригоршню сколько угодно монет. Какое наибольшее число монет он может гарантировать себе независимо от действий Глазка? Найдите это число; покажите, как Хапок может его себе гарантировать, и докажите, что большего он гарантировать не может.
Решение: Во-первых, опишем тактику, следуя которой, Глазок может гарантировать себе не менее 54 монет, тогда Хапок не может гарантировать себе более 46. Пусть Глазок забирает себе все те пригоршни, в которых не менее 6 монет, а все остальные отдает Хапку. Тогда в конце дележа Глазок либо возьмет 9 пригоршней, в которых не менее 54 монет, либо не возьмет 9 пригоршней. В этом случае Хапок возьмет не более 9 пригоршней, в которых не более 45 монет, и Глазку достанется не менее 55.
Во-вторых, покажем, как Хапок может гарантировать себе не менее 46 монет. Пусть Хапок берет одинаковые пригоршни по 6 монет. Таких пригоршней получится 16 и еще 4 монеты. Тогда в конце дележа либо Глазок возьмет 9 пригоршней, в которых 54 монеты, либо Хапок возьмет не менее 8 пригоршней, в которых 48 монет. В обоих случаях Хапок получит не ме-
нее 46 монет.
Задача 149. Куб 4×4×4 распилили на 64 кубика размерами 1×1×1. Каким наименьшим числом распилов можно обойтись, если части после каждого из распилов можно перекладывать?
Решение: Прежде всего, заметим, что обойтись менее чем шестью распилами не удастся. Действительно, рассмотрим один из восьми внутренних кубиков. У него шесть граней, и все они должны быть освобождены распилами. Но за один распил освобождается не более одной грани каждого кубика, поэтому менее чем шестью распилами обойтись не удастся. Проверим, что шести распилов достаточно, указав способ осуществления этих распилов. Действительно, за два распила, параллельные одной из граней, легко распилить куб на 4 «слоя» размером 4×4×1, сделав при этом одно перекладывание между распилами. Затем повторяя эти операции параллельно другим ребрам, можно добиться распила на единичные кубики.
Задача 150. Саша ходит в бассейн один раз в три дня, а Вася один раз в четыре дня, Ваня – один раз в 5 дней. Они встретились в бассейне в этот понедельник. Через сколько дней и в какой день недели они встретятся снова?
Решение: Чтобы узнать через сколько дней они встретятся нужно найти НОК (3; 4; 5). Так как числа имеют только один общий делитель равный 1, то наименьшее общее кратное равно их произведению, есть НОК (3; 4; 5) = 60 (дней). Так как они встретятся только в один день а именно, в понедельник, то найдем остаток от деления периода их встречи на количество дней в неделю, то есть 60:7 = 8(ост. 4).
Ответ: ребята встретятся через 60 дней, в пятницу.
Задача 151. В шести коробках лежат шарики: в первой – 1, во второй – 2, в третьей – 3, в четвертой – 4, в пятой – 5, в шестой – 6. За один ход разрешается в любые две коробки прибавить по одному шарику. Можно ли за несколько ходов уровнять количество шариков во всех коробках?
Решение: С одной стороны всего шариков в коробках первоначально 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, а после k ходов их станет 21 + 2k. С другой стороны, общее количество шариков в коробках в тот момент, когда во всех коробках станет шариков поровну, равно 6n, где n – число шариков в одной коробке.
Отсюда 21 + 2k = 6n.
Но это равенство невозможно при натуральных k и n, так как его правая часть четна, а левая – нечетна.
Ответ: нельзя.
Задача 153. На математическом конкурсе в VIII классе было предложено несколько трудных и несколько легких задач. За каждую решенную трудную задачу участник получал 3 балла, за легкую – 2 балла. Но за каждую нерешенную легкую задачу у участника вычитался 1 балл. За нерешенную трудную задачу баллы не вычитались. Миша решил 10 задач и набрал 14 баллов. Сколько легких задач было на конкурсе?
Решение: Способ первый. Если бы все задачи, решенные Мишей, были трудными, то он получил бы за них 10 – 3 = 30 баллов. Однако он получил только 14 баллов и, значит, 16 баллов потерял. Если вместо трудной задачи он решил легкую, то вместо 3 баллов он получил 2, т.е. потерял 1 балл. За каждую нерешенную легкую задачу он по условию также терял 1 балл. Итак, за каждую легкую задачу (независимо от того, решил он ее или нет) Миша терял ровно 1 балл. Так как всего он потерял 16 баллов, то и число легких задач также равно 16.
Способ второй. Пусть х легких задач Миша решил, у легких задач не решил. Тогда он решил 10 – х трудных задач. Поэтому по условию имеет место равенство
3 – (10 – х) + 2∙х – 1∙у = 14,
откуда после упрощения х + y = 16. Следовательно, общее количество легких задач равно 16.