Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА

Оразбаев Б. Б., Курмангазиева Л. Т., Коданова Ш. К.,

5.1. Задачи и методы принятия решений. Принятие решений в условиях конфликта, риска, в нечеткой среде

1. Задачи и методы принятия решений. Принятие решения при управлении производственными объектами.

2. Детерминированные задачи принятия решений.

3. Стохастические задачи принятия решений.

4. Принятия решений в нечеткой среде.

1. Задачи и методы принятия решений

Важная область принятия решения связана с производством. Чем больше объем производства, тем труднее принимать решения при управлении им, т.е. актуальней становятся проблемы формализации и решения задач принятия решений (ПР).

Принятие решений заключается в оценке возможных вариантов решений (альтернатив) и выбор наилучшего из них по заданным критериям. Реализация любого варианта решений предполагает наступление некоторых последствии, анализ оценка которых, как правило, по нескольким (векторному) критериям эффективности полностью характеризует этот вариант решений. Решение задач ПР сводится к выявлению и исследованию предпочтений ЛПР, а также построению на этой основе адекватной модели выбора наилучшей в некотором смысле альтернативы.

Многомерность, качественные различия критериев, возможная неопределенность модели производственных систем в сочетании с нечеткостью служат серьезными препятствиями при получении оценки качества объекта и вызывают необходимость рассмотрения более общих подходов к понятию оптимальности, т.е. развития и разработки новых методов в теории принятия решений для многокритериальных нечетких задач. Интенсивному развитию этой теории способствовало широкое и эффективное применение компьютерной технологии, позволяющее проводить анализ и обработку больших массивов данных. Разнообразные ситуации,
встречающиеся на производстве, приводят к различным постановкам многокритериальных задач и тем самым к необходимости развития и разработки различных методов их.

Многокритериальные задачи ПР возникают тогда, когда требуется выбрать решение лучшее сразу по нескольким противоречиям локальным критериям. Так, в задачах управления производством обычно необходимо максимизировать выход целевых продуктов с требуемыми показателями качества, при ограниченных затратах, издержках и потерях. Поскольку решения, лучшего одновременно по всем критериям, обычно нет, необходим разумный компромисс. Так как только человек – ЛПР может знать, какие показатели более важны, то решение многокритериальных задач должно строится на базе информации о предпочтениях ЛПР.

Характерная особенность процесса принятия решений при управлении производственными объектами, в которых особая роль принадлежит человеку, состоит не только в необходимости использования компьютерных систем, но и в привлечении суждений руководителей, специалистов – ЛПР. Информация, получаемая на основе суждений ЛПР, позволяет выявить его предпочтения относительно значений критерия, при составлении значений различных критериев и очень важна для выбора решения.

Целью принятия решений является перевод состояния объекта в текущий момент времени в некоторую желаемую область состояния. При этом должны быть созданы условия, обеспечивающие данный перевод. Для производственных объектов обычно стремятся к достижению экстремального значения, как правило, нескольких критериев, при котором выполняется целенаправленное изменение состояния объекта в желаемую область, зависящее от конкретной ситуации, сложившейся на производстве в текущий момент времени.

Таким образом, принятие решений определяется отличием между фактическим и желательным состоянием объекта, степенью информированности ЛПР о состоянии и целях функционирования объекта. При конкретизации проблемы принятия решений определяют средства, ресурсы и параметры, которые надо изменять для достижения желаемой области, т.е. формулируют задачу ПР.

В общем виде задачу ПР можно записать в виде:

⟨Задачи ПР ⟩ = {дано V, VS, VP, требуется обеспечить W }, (5.1)

где V – заданные условия; VS – множество возможных состояний объекта; VP – множество возможных операторов, которые обеспечивают переход объекта из одного состояния в другое; W – желаемое состояние объекта.

При этом решение задачи ПР заключается в выборе последовательности операторов для перевода объекта из состояния в текущий момент в желаемое состояние.

В зависимости от поставленной задачи ПР и сложности объектов можно выделить два основных метода:

– целостный выбор, когда ЛПР оперирует непосредственно с альтернативами;

– критериальный-экспертный выбор, – когда ЛПР формирует множество критериев и ограничений, назначает правило выбора, а оценку критериев получает в результате моделирования или взаимодействия с системой, при этом часть альтернатив оценивается экспертами. Практическое использование первого метода весьма ограничено для сложных объектов, какими являются производственные, так как ЛПР оперативно оперирует ограниченным количеством информации (7 ± 2 структурных единиц информации – альтернатив).

Проблемы многокритериального выбора при нечеткой исходной информации стали предметом исследования ученых относительно недавно. Главным «узким местом» на пути широкого применения разработанных подходов и алгоритмов решения многокритериальных задач ПР в нечеткой среде является свертывание (преимущественно линейное) векторного критерия эффективности и векторных нечетких отношений предпочтений.

К другим недостаткам данных подходов, препятствующим их применению при решении задач управления производством, относятся:

– использование понятия «нечеткости» в основном только тогда, когда речь идет об отношениях предпочтения (в смысле степени превосходства одного варианта над другим);

– попытки вычисления строгого нечеткого отношения предпочтения без учета мнений ЛПР;

– недостатки проработки вопросов человеко-машинного взаимодействия при формализации и решении задач ПР, низкий уровень «интеллектуальности» интерфейса пользователя и программно-алгоритмического обеспечения человеко-машинных систем для решения этих задач.

В различных работах проанализированы возможности применения известных методов к решению задач выбора при оперативном управлением производством в металлургии, характеризующихся дискретной технологией (трубное производство). Показана возможность использования существующих методов и предложены новые методы, позволяющие эффективно решать задач ПР в условиях неопределенности. Так в разработан метод интервального оценивания замещений, характеризующийся высокой эффективностью и большой разрешающей способностью. В этом методе неопределенность при выборе решений преодолевается путем рассмотрения интервала , в котором лежит точно не измеряемая величина, вводится специальный коэффициент ИКЗ (интервальный коэффициент замещений) учитывающий предпочтения ЛПР.

Эти методы разработаны для решения специфических задач оперативного управления материальными потоками с дискретной технологией, их программные реализации ориентированы на ЭВМ серии СМ ЭВМ. С появлением современных персональных компьютеров возникли необходимость разработки новых методов решения нечетких задач многокритериального выбора, обеспечивающих более эффективный диалог между ЛПР и ЭВМ на удобном для пользователя языке (наличие интелектуализированного интерфейса) и учитывающие знания, опыт и интуицию ЛПР (в виде нечетких высказываний) при формализации и выборе разумного компромиссного решения в нечеткой среде.

Эффективное решение задачи ПР при управлений сложными промышленными объектами часто возможно только на основе моделирования их работы на компьютере на базе которой создается система принятия решений. В этом случае ЛПР, работая с системой поддержки принятия решений, включающей пакет моделей объекта, базы знаний и данных, и алгоритмы многокритериальной оптимизации, в диалоговом режиме получает необходимую информацию для оценки различных альтернатив и выбора решений.

В зависимости от известности исходного множества альтернатив – Ω и принципа оптимальности – , задачи ПР классифицируется:

– общая задача принятия решений – Ω и  t неизвестны;

– задача выбора – Ω известно, t неизвестен;

– общая задача оптимизации – Ω и  – известны.

Задачи ПР в зависимости от соотношения между ситуациями, альтернативами и исходами принятых решений разделяются на: задачи ПР в условиях определенности, риска и в нечеткой среде.

2. Детерминированные задачи принятия решений

Задачи ПР в условиях определенности (детерминированные задачи ПР) характеризуются однозначной детерминированной связью между альтернативами Xi и исходом S. Предполагается, что известны исходное множество альтернатив Ω = {Xi} и однозначные оценки исхода S в виде свойств альтернативы Xi, описываемых, как правило, несколькими критериями f1(xi), f2(xi), …, fm(xi), f(xi) назовем векторным критерием.

В этих случаях задача ПР формализуется как задача выбора (векторной оптимизации):

(5.2)

В таком виде, задача (5.2) не является корректной и отражает только стремление сделать значение локальных критериев побольше.

В этих задачах необходимо уточнять понятие оптимальности. Это понятие должно быть, с одной стороны, близким к представлению об оптимальности ЛПР, а с другой стороны достаточно формализуемым, чтобы с ним можно было работать алгоритмически, а не интуитивно. Принцип оптимальности задает понятие лучших альтернатив.

Разные методы решения таких многокритериальных задач ПР отличаются способом агрегирования оценки по отдельным критериям в общую. Рассмотрим основные группы таких методов.

1. Прямые методы. В этих методах зависимость общей оценки от оценок по частным критериям выбирается заранее тем или иным способом, например с помощью ЛПР. Эти методы в зависимости от способа определения общей полезности разделяются на несколько подгрупп.

Обоснованием применения прямых методов является представление о принципе максимизации ожидаемой полезности как о «рациональном» принципе принятия решений. К достоинствам этих методов можно отнести их простоту и универсальность, они применимы, когда не выполняются те или иные аксиомы для выбора формы зависимостей полезности многокритериальной альтернативы от оценок по частным критериям.

Основным недостатком этих групп методов является выбор формы зависимости без каких-либо серьезных теоретических обоснований или использования аксиоматики (реализуется эвристический подход) и отсутствие проверки правдоподобности выбора.

В прямых методах ЛПР может использовать ряд принципов многокритериальной оптимизации (компромиссные схемы ПР), принятие каждого из которых влечет выбор определенной зависимости между полезностью многокритериальной альтернативы и ее оценки по критериям. К таким принципам можно отнести следующие принципы: принцип выделения главного критерия; лексикографические принципы, принципы равенства и квазиравенства, принципы максимина и др., которые подробно описаны в работах. Некоторые характеристики этих принципов будут рассмотрены при использовании их в предлагаемых нами алгоритмах решения нечетких задач ПР.

2. Методы компенсации, – основаны на идее компенсации оценки одной альтернативы оценками другой, чтобы найти какие альтернативы лучше. По идее, это наиболее простой метод, при котором ЛПР выписывает достоинства и недостатки каждой из альтернатив и, вычеркивая попарно эквивалентные достоинства (недостатки), изучает оставшиеся оценки по критериям.

3. В методах порогов сравнимости, задается правило сравнения двух альтернатив, при котором одна альтернатива считается лучше другой. В соответствии с заданными правилами альтернативы попарно делятся на сравнимые (лучшие, эквивалентные) и несравнимые. При изменении условии меняется количество сравнимых альтернатив. При этом меняется состав так называемого ядра (например, множество Парето), куда входят альтернативы, оказавшиеся не худшими при всех сравнениях, т.е. выделяются лучшие решения. К этим методам можно отнести методы ЭЛЕКТРА, предложенные Б. Руа.

4. В аксиоматических методах определяется ряд аксиомы, которым должна удовлетворять зависимость общей полезности от оценок по локальным критериям. Эти аксиомы (свойства) проверяются путем получения информации от ЛПР, в соответствии с которой делается вывод о той или иной форме зависимости.

5. Человеко-машинные (диалоговые) методы применяются в том случае, когда модель проблемы известно частично. В этих методах ЛПР взаимодействуют с компьютером, определяя соотношения между локальными критериями. ЛПР сначала определяет первоначальные требования к соотношениям критериев, вводит в компьютер, получает реальные значения критериев, изменяет свой требования, снова вводит в компьютер и т.д. В ходе таких итераций ЛПР проясняет характерные черты задачи, выявляет и уточняет свои предпочтения и в результате сообщает дополнительную информацию, благодаря которой компьютер вырабатывает все более совершенные решения. Такой диалог между ЛПР – компьютер, при наличии удобного для пользователя интерфейса, способствует выработке разумного компромисса в требованиях ЛПР к значениям, достигаемым по разным критериям. Это объясняет потенциальную эффективность подобных систем. Достоинством этих методов является сочетание возможностей компьютера по быстрому проведению больших, сложных расчетов и способностей человека к восприятию альтернатив «в целом», без сравнения их оценок по отдельным критериям.

3. Стохастические задачи принятия решений (при риске)

Задачи ПР при риске (стохастические задачи ПР) возникают в тех случаях, когда с каждым принимаемым решением x1 ∈ Ω связано множество исходов из m возможных результатов S1, ..., Sn с известными
вероятностями , т.е. в этих задачах нет однозначной связи между альтернативами и исходом. При задачи ПР при риске и детерминированные задачи ПР совпадают.

Для решения задач ПР при риске широко применяются методы теории стохастического программирования, игр, массового обслуживания и другие вероятностные методы. Пусть определены  – функция полезности исхода Sj при принятии решений xi и  где  – условные вероятности, характеризующие переход объекта в состояние Sj при использовании стратегии xi, тогда полезность каждого решения представляется в виде:

В этом случае выбор решения осуществляется по следующему правилу, обеспечивающему достижение максимального значения ожидаемой полезности:

4. Принятия решений в нечеткой среде

Задачи ПР в нечеткой среде. Будем полагать, что в ситуациях принятия решений, когда хотя бы один из элементов задачи (альтернативы, критерии, предпочтения и ограничения) описывается нечетко, имеют место задачи ПР в нечеткой среде (при нечеткой исходной информации). В данной работе исследуются именно такие задачи ПР.

Перспективным направлением разработки методов ПР в нечеткой среде является лингвистический подход на базе теории нечетких множеств. К настоящему времени в этом направлении получены конкретные практические результаты. Однако некоторые ситуации, сложившиеся на производстве в условиях неопределенности, требует новых подходов к формализации задач ПР и разработку методов их решения.

Будем полагать, что в ситуациях принятия решений, когда хотя бы один из элементов задачи (альтернативы, предпочтения, критерии, ограничения, зависимости) описывается нечетко, имеет место задача многокритериального принятия решений при нечеткой исходной информации.

Задачи ПР в нечеткой среде могут быть охарактеризованы следующими элементами, из сочетания которых возникают конкретные задачи ПР:

1. Критериями

2. Инструкциями типа: «желательно, чтобы значения – было побольше» – нечеткий оператор максимизации

3. Нечеткими критериальными ограничениями типа: «желательно, чтобы значения критерия fi(x), были бы больше (не меньше, равны) чем bi –

4. Информацией о приблизительной важности критериев (весовой вектор, ряд приоритета).

5. Нечеткими ограничениями на вектор независимых переменных (управление) типа: где  – нечеткое множество.

6. Детерминированными ограничениями на независимую переменную: x ∈ Ω.

Здесь выделены следующие источники нечеткости: нечеткость критериев, нечеткость максимизации, нечеткость ограничений (на исходное множество альтернатив и на критерии), нечеткость взаимной важности критериев.

С учетом приведенной информации задачу ПР при управлении производственными объектами в общем виде можно формализовать следующим образом.

Найти вектор управления , обеспечивающий такие значения локальных критериев, которые удовлетворяют ЛПР:

(5.3)

(5.4)

где  – нечеткие локальные критерии, значения которых вычисляются по моделям (все или часть из них нечеткие); ϕq(x), функции ограничений, определяющие допустимую область Ω многокритериальной задачи (5.3)–(5.4); bq – заданные числа, которые могут быть нечеткими.

Центральный вопрос и проблема в данных задачах – проблема многокритериальности, которая будет разрешаться как с помощью известных прямых методов многокритериальной оценки альтернатив, так и с помощью схем принятия решений, в которых существенная роль ложится на ЛПР – диалоговых схем ПР.

Формализуем различные задачи ПР в зависимости от производственных ситуаций в виде задач нечеткого математического программирования и опишем методы их решения.

Вначале уделим внимание ситуации, когда задача нечеткого математического программирования (НМП) ставится для одного критерия и нескольких ограничений, т.е. соответствует производственной ситуации 1 (ПС1).

Задача НМП 1. Пусть имеется один нормализованный критерий вида – μ0(x), L ограничений с нечеткими инструкциями Предположим, что функции принадлежности выполнения ограничений μq(x) для каждого ограничения построены в результате диалога с ЛПР, специалистами – экспертами. Пусть известен либо ряд приоритета I = {1, ..., L}, либо весовой вектор β = (β1, ..., βL) для ограничений, отражающий взаимную важность ограничений на момент постановки задачи оптимизации.

Тогда в общем виде задачу НМП:

при условиях можно записать:

Данная постановка задачи НМП при четкой целевой функции и нечетких ограничениях с нечеткой инструкцией отражает стремление максимизировать целевую функцию, полностью удовлетворив требованиям ограничений. Если допустить, что все функции принадлежности нормальные, то постановка задачи НМП примет вид:

Получили четкую задачу математического программирования с максимизацией целевой функции на четком множестве Х. Далее будем предполагать вогнутость целевой функции μ0(x), ограничений μq(x), и выпуклость допустимого множества Х. Данная задача решается обычными методами математического программирования.

На практике возможна ситуация, когда множество Х является пустым из-за отсутствия альтернативы х, удовлетворяющей одновременно всем ограничениям и, следовательно, задача не имеет решения. В этом случае следует отказаться от четкого решения исходной нечеткой задачи и, воспользовавшись нечеткостью ограничений, поставить задачи математического программирования, учитывающие эти нечеткости.

В этом случае из-за невозможности удовлетворить всем критериальным ограничениям одновременно приходится использовать компромиссные схемы учета требований различных критериальных ограничений. Воспользуется идеями и схемами компромиссов, заложенными в прямые методы многокритериальной оценки альтернатив, для постановки задач НМП и определения решений этих задач.

Вначале сведем исходную задачу к максимизации целевой функции на точках паретовского множества, образованного ограничениями:

.

Решение данной задачи зависит от весового вектора β и состоит из вектора управлений (независимых переменных), значений целевой функции и набора значений ограничений:

Предлагается следующий эвристический алгоритм поиска решений задачи для задачи П.1.

Алгоритм F1

1. Задать pq,  – число шагов по каждой q-й координате.

2. Определить  – величины шагов для изменения координат весового вектора β.

3. Построить набор весовых векторов β1, β2, ..., βN, N = (p1 + 1)∙(p2 + 1)...(pL + 1) варьированием координат на отрезках 0,1 с шагом hq.

4. На основе информации, получаемой от ЛПР, специалистов-экспертов определить терм-множество нечетких параметров и для каждого ограничения построить функций принадлежности выполнения ограничений.

5. Решить задач П.1 при βi, i = 1, 2, ..., N и определить решения:

.

6. Решения предъявить ЛПР для выбора лучших.

В предложенном алгоритме исходное Паретовское множество решений аппроксимируется N точками, для которых ищутся решения.

Задача НМП 2. Рассмотрим ситуацию, когда приходится ставить задачу НМП при наличии нескольких целевых функций (критериев) – ПС2: известном ряде приоритета I = {1, 2, ..., m} или известном весовом векторе взаимной важности целевых функций
(локальных критериев) γ = (γ1, ..., γm), γi ≥ 0, γ1 + γ2 +...+ γm = 1. Тогда можно привести следующую постановку многокритериальной задачи НМП:

Задача в такой постановке редко имеет решение, так как требует, чтобы m целевых функций достигали максимума в одной точке. Универсальным выходом в этом случае является построение Паретовского множества и выбор ЛПР из этого множества наилучшего решения:

Для решения многокритериальной нечеткой задачи П.3 предлагается следующий алгоритм.

Алгоритм F3

1. На основе экспертной оценки определить значения весового вектора, оценивающие взаимную важность локальных критериев γ = (γ1, ..., γm), γi ≥ 0, γ1 + γ2 +...+ γm = 1.

2. Если и/или γ – определено нечетко, для них построить терм-множество и функции принадлежности.

3. Решить задачу П.3:

и для различных значений весового вектора определить набор решения

4. Полученный набор решений предъявить ЛПР для выбора лучших.

Более общий случай постановок задач НМП при нескольких критериях и нескольких ограничениях использованием приведенных приемов и принципов сводится к уже рассмотренным постановкам задач. При этом можно выделить два подхода.

Первый – состоит в использовании для ограничений приемов построения допустимого множества с разными принципами оптимальности (П.1 и др.) и проблема постановки задач НМП при нескольких целевых функциях решается с использованием принципов оптимальности П.2, П.3 и др., максимизацией целевых функций на полученном допустимом множестве. В случае нечеткости критериев, максимизируется их функции принадлежности.

Второй подход состоит в рассмотрении части целевых функций как ограничений и затем в применении для этого варианта первого подхода к постановкам задач НМП.

В качестве примера постановки и решении многокритериальных задач НМП с несколькими ограничениями (ПС3) рассмотрим следующую задачу (П.4).

Задача НМП 3. Пусть  – нормализованный вектор критериев, оценивающий качество работы производственного объекта. Допустим, что на основе экспертных процедур для каждого ограничения ϕq(x), построена функция принадлежности выполнения ограничений – μq(x). Пусть известен, либо ряд приоритетов для локальных критериев Ik = {1, ..., m} и ограничений Ir = {1, ..., L}, либо весовой вектор, отражающий взаимную важность критериев γ = (γ1, ..., γm), и ограничений β = (β1, ..., βL). Тогда на основе компромиссных схем принятия решений можно формализовать различные задачи многокритериального НМП с несколькими ограничениями и предложить алгоритмы их решения.

Например, на основе идеи метода главного критерия общую задачу НМП с несколькими критериями и ограничениями: можно привести следующую постановку многокритериальной задачи НМП:

можно записать в следующей постановке:

Решение данной задачи зависит от граничных значений – .

Приведем структуру предлагаемого алгоритма решения задачи П.4.

Алгоритм F4

1. Задать ряд приоритетов для ограничений Ir = {1, ..., L} и локальных критериев Ik = {1, ..., m} (главный критерий должен иметь приоритет 1).

2. ЛПР назначить граничные значения ограничений
и .

3. На основе экспертной информации определить терм-множество нечетких параметров и построить функции принадлежности выполнения ограничений и .

4. Решить задачу П.4. (максимизировать главный критерий на множестве Х, учитывающем наложенные ограничения) и определить решения:

5. Предъявить ЛПР полученные решения. Если текущие результаты не удовлетворяют ЛПР, то им назначаются новые значения и вернуться к пункту 3, иначе процедуру поиска решения прекратить и вывести окончательные результаты.

Для большей обоснованности в назначении ЛПР граничных значений и  нужно построить диалоговые процедуры для назначения разных граничных значений, анализа полученных результатов ЛПР и выбора новых значений .

Заключение. В данном подразделе изложены основы теории принятия решений (ПР), рассмотрены задачи принятия решений, метод интервального оценивания замещений, прямые методы, методы компенсации, методы порогов сравнимости, аксиоматические методы, человеко-машинные методы, дана классификация задач принятия решений, описаны детерминированные задачи ПР, стохастические задачи ПР, нечеткие задачи ПР.

Контрольные вопросы

1. Задачи и методы принятия решений.

3. Цель принятия решений.

3. Классификация задач принятия решений.

4. Детерминированные задачи ПР.

5. Стохастические задачи ПР.

6. Задачи ПР в нечеткой среде.

7. Задачи нечеткого математического программирования (ЗНМП 1,2,3).

8. Алгоритмы решения задач НМП (F1, F3, F4).