Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

Модели диагностики надежности и безопасности СВТ и АСУ объектов техносферы

Белозеров В. В., Любавский А. Ю., Олейников С. Н.,

2.1. Математическая модель стендовых испытаний

Утверждение. Пусть после завершения экспериментальных испытаний с восстановлениями отказывающих элементов всего получено N отказов ЭРЭ, в том числе o опасных отказов, m (m ≥ О) из которых вызвали опасные ситуации (пробой, воспламенение, дым и т.д.). Предположим, что за счет продолжительности форсированных испытаний полученное количество опасных отказов o не слишком мало (иначе статистические выводы окажутся слишком грубыми), а »ударный» режим «термобароциклирования» испытываемых изделий выбран так (в пределах ТУ), что вероятности опасных ситуаций в зонах наибольшей интенсивности отказов высоки (например, выше 0,1).

Обозначим имевшие место опасные отказы через Пi (i = 1, o) и будем рассматривать их как осуществленные взаимно независимые испытания, каждое из которых имело возможность завершиться одним из двух исходов – появлением или не появлением события C, означающего опасную ситуацию в изделии (испытания П независимы именно относительно события C).

Пусть, вычисленные любым способом, вероятности события C в каждом из испытаний Пi, а qi = 1 – рi – вероятности противоположного события C в этих испытаниях. Тогда данная совокупность независимых испытаний Пi с указанными вероятностями рi, qi (pi + qi = 1) представляет собой обобщенную схему независимых испытаний Бернулли с переменными вероятностями, приводящую к определенному вероятностному распределению возможных значений случайной величины ξ суммарного количества исходов C при реализации совокупности испытаний Пi (i = 1, ō). Это распределение задается вероятностями Рк = Р(ξ = k), где Р(ξ = k) – вероятность того, что ξ принимает значение k.

Доказательство. Естественным статистическим критерием расчетных вероятностей является проверка того, что каждая из вероятностей Р(ξ ≤ m) = Р(ξ ≥ m) оказывается не меньше Pi(i = 1, ō) заранее заданного числа L/2, где L – уровень значимости.

Указанные вероятности вычисляются по формулам [10,11,16]:

(2.1)

а вероятнъости Рk (k = 0, ō) для случайной величины ξ, имеющей обобщенное биномиальное распределение с параметрами (o, р1, р2,... рo), (0 < р < 1, i = 1, ō), определяются выражениями:

(2.2)

При этом математическое ожидание М[ξ] и дисперсия D[ξ] случайной величины ξ, как это непосредственно следует из теорем о математическом ожидании и дисперсии, равны

при (2.3)

В тех случаях, когда все рi – невелики, оказывается М[ξ] ≈ D[ξ] и подобно обычному биномиальному распределению можно, для упрощения расчетов, аппроксимировать указанное распределение (2.2) с достаточной точностью распределением Пуассона с параметром α = М[ξ], что подтверждается сравнением соответствующих характеристических функций:

(2.4)

Для практического применения является полезным следующее представление дисперсии D[ξ]:

(2.5)

(2.6)

Данное выражение указывает на то, что дисперсия рассматриваемого обобщенного биномиального распределения меньше дисперсии классического биномиального распределения с параметрами (о, p), причем меньше ровно на о дисперсий «варианты» p.

Таким образом, при планировании «интервалов электро-термо-баро-ударов» в стендовых испытаниях изделий [24] следует иметь в виду, что если средняя вероятность р будет оставаться постоянной, то максимум дисперсии D[ξ] будет соответствовать случаю р1 = р2 =..... = рn = р, а изменения рi в сторону их неодинаковости будут уменьшать флуктуации случайной величины ξ. Без (2.6) этот вывод мог бы показаться парадоксальным.