Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ С ПРАКТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

Абрамов А. В., Абрамова Н. В., Зайнуллин М. Н.,

Производная и ее применение

Сведения из теории

Производная в основном применяется в задачах, где необходимо найти максимальное или минимальное значение функции, промежутки возрастания или убывания, скорости изменения состояния объекта (движения точки, температуры и т.п.), построение касательных.

Достаточный признак возрастания функции. Если в каждой точке x интервала (a; b) значение производной f′(x) функции f(x), больше нуля, то функция f(x) на этом интервале возрастает.

Достаточный признак убывания функции. Если в каждой точке x интервала (a; b) значение производной f′(x) функции f(x), меньше нуля, то функция f(x) на этом интервале убывает.

Необходимое условие экстремума. Если x0 – точка экстремума функции f(x), то производная функции в этой точке равна нулю: f(x) = 0.

Признак максимума функции

Признак максимума иллюстрируется следующей таблицей.

Признак минимума функции.

Алгоритм конструирования задач по теме «Производная и ее применение»:

1. Ознакомить с исходными данными (Анализ ситуации).

2. Построить график, на котором отобразить все известные данные.

3. По заданным точкам экстремума составить форму для производной искомой функции

4. Для полученной функции составляем первообразную, задающую множество функций имеющих экстремумы в точке x1 и x2

5. Приравниваем полученную функцию к данным значениям в точке экстремума, составляем систему уравнений

6. Решить полученную систему, найти значения к и с.

7. Записать искомую функцию.

8. Выполнить проверку

Задача 349. Поток автотранспортных средств на улице Мира г. Нижневартовска задается функцией f(x), где х – это время, а значения этой функции – количество автотранспортных средств. Вычислить время, максимальное и минимальное количество автотранспортных средств, в период после 4-х часов вечера. Оцените загрязнение улицы Мира в это время (единица потока автотранспортных средств равна одной тысяче машин).

Задача 350. График потока автотранспортных средств на улице Ленина г. Нижневартовска представлен на рисунке, определите время, максимальное и минимальное количество автотранспортных средств, и максимальный выброс.

Задача 351. Функция задает процесс размножения вредоносных бактерий в озере Комсомольском г. Нижневартовска в первых два летних месяца. Определить их наименьшее и наибольшее количество, и сделать вывод о наиболее безопасном месяце для купания.

Задача 352. Функция демонстрирует процесс токсичности реки Обь в черте города Нижневартовск за два первых месяца лета. Определить, в какой из двух месяцев река Обь является наиболее и наименее токсична. И сделать вывод, в какой месяц в ней наиболее безопасно купаться. Если коэффициент токсичности не должен превышать 0,2.

Задача 353. Известно, что коэффициент токсичности воды озера Комсомольского г. Нижневартовска превышен в 4 раза в июне, и в 3 раза в июле. Составьте задачу нахождения наибольшего и наименьшего значения токсичности. Если коэффициент токсичности 0,2.

Задача 354. Дан график на котором представлено количество твердых бытовых отходов производимых на душу населения в России и Нижневартовске. Определить уровень загрязнения, и дать оценку (график 1).

График 1

Задача 355. Известно что содержание нефтепродуктов в реке Вах, Нижневартовского района в 2002 году было равно примерно 0,02 мг/дм3, а в 2004 году оно увеличилось вдвое. Составьте задачу нахождения наибольшего и наименьшего значения концентрации нефтепродуктов в реке Вах.

Задача 356. Посмотрите на график среднегодового уровня загрязнения воздуха фенолом, в городе Нижневартовске, за несколько последних лет, и назовите точки экстремума.

Задача 357. За вторую неделю разлива нефти в Мексиканском заливе погибло около ста видов животных обитающих в этой местности. За четвертую неделю погибло еще около двух сот видов животных. Составьте задачу на применение производной, констатирующую экологическую опасность разлива нефти.

Задача 358. При извержении вулкана камни горной породы выбрасываются перпендикулярно вверх с начальной скоростью 120 м/с. Какой наибольшей высоты достигнут камни, если сопротивлением ветра пренебречь?

Решение: Вещество выбрасывается перпендикулярно вверх. Высота камня h, функция времени –

.

Откуда следует:

h(t) = v(t) = v0 – gt.

Следовательно, 0 = 120 – 9,8t и t ≈ 13 с. Тогда h = 745 м, т.е. камни горной породы достигают уровня 720 м от края вулкана.

Задача 359. Нагруженные сани движутся по горизонтальной поверхности под действием силы F, приложенной к центру тяжести. Какой угол α должна составлять линия действия силы F с горизонтом, чтобы равномерное движение саней происходило под действием наименьшей силы? Коэффициент трения саней о снег равен к.

Решение: Разложим силу F на горизонтальную и вертикальную составляющие. Сила нормального движения саней и вертикальной составляющей силы F:N = P – F∙sinα, поэтому сила трения Fтр = kN = k(P – Fsin α). Сани будут двигаться равномерно при условии компенсации горизонтальных сил:

Fx = Fтр,

то есть Fcosα = k (P – Fsinα).

Далее находим силу как функцию угла α:

F(α) = kP/(ksinα + cosα);

F′(α) = kP(sinα – kcosα)/(ksinα + cosα)2;

Тогда

F′ (α) = 0 при k = tgα.

Из решения этой задачи можно сделать практический вывод: когда необходимо везти на санях груз по дороге с большим коэффициентом трения, нужно тянуть сани за короткую веревку. Если же коэффициент трения мал, веревка должна быть длинной.

Задача 360. Расход горючего легкового автомобиля (литр на 100 км) в зависимости от скорости х, км/ч, при движении на четвертой передачи приблизительно описывается функцией

f(x) = 0,0017x2 – 0,18х + 10,2; х > 30.

При какой скорости расход горючего будет наименьший? Найдите этот расход.

Решение: Исследуем расход горючего с помощью производной:

f′(х) = 0,0034х – 0,18.

Тогда f′(х) = 0 при х ≈ 53. Определим знак второй производной в критической точке: f″(х) = 0,0034 > 0, следовательно, расход горючего при скорости 53 км/ч будет наименьшим. f(53) ≈ 5,43 л.

Задача 361. Оборот предприятия за истекший год описывается через функцию

U(t) = 0,15tx3 – 2t2 + 200,

где t – месяцы: U – миллионы рублей. Исследуйте оборот предприятия.

Решение: Исследуем оборот предприятия с помощью производной:

U′(t) = 0,45t2 – 4t;

U″(t) = 0,9t – 4;

U‴(t) = 0,9.

Момент наименьшего оборота при U(t) = 0, т.е.при t = 8,9. Наименьший оборот был на девятом месяце. Первая производная показывает экстремальное изменение оборота. Из U(t) = 0 следует t = 4,4. Так как U‴(t) > 0, то на пятом месяце имеется сильное снижение оборота.

Точки перегиба важны в экономике, так как именно по ним можно определить, в какой конкретно момент произошло изменение.

Так, например, по решению предложенной задачи можно сделать выводы:

1. В начале исследуемого периода у предприятия было снижение оборота.

2. Предприятие пыталось выйти из этого состояния и для этого использовало определенные средства.

На пятом месяце (точка перегиба) что-то было предпринято и предприятие стало выходить из кризиса, а на девятом месяце стало набирать обороты.