Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

ПЛАЗМЕННО-ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ КОНЦЕПЦИЯ СОСТОЯНИЯ ИОНОВ В РАСТВОРАХ ЭЛЕКТРОЛИТОВ В ОЦЕНКЕ НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ

Балданова Д М, Танганов Б Б,

4.1. Проводимость систем зарядов в газовой плазме, плазме твердых тел, растворах электролитов и тензор электромагнитного поля

В данном параграфе предлагается вариант решения концептуального единства теории электропроводности растворов электролитов, в основе которой лежит представление об энергии многочастичных взаимодействий через плазменное колебание зарядовой плотности, с теорией проводимости твердых тел. Для этого предлагается четырехмерное уравнение движения зарядов в ковариантной форме, трансформируемое в формулу Друде для проводимостей твердых тел [99].

В качестве исходных предпосылок принимаются эквивалентные представления плотности тока  через искомую проводимость , напряженность внешнего поля , число Фарадея , скорость движения зарядов , плотность носителей тока

                                      (4.1)

и четырехмерное уравнение движения в ковариантной форме

,                              (4.2)

где  – четырехмерная скорость;  – пространственный интервал, при , ;  – антисимметрический ковариантный тензор электромагнитного поля, как и четырехмерная скорость , определяемая 4-радиусами-векторами  и 4-векторами  и ;  – 4-импульс.

Согласно равенству (4.1), основной проблемой для нахождения  является установление скорости движения зарядов  на основе уравнения (4.2). Данное уравнение можно представить в развернутом виде, учитывая при этом, что под дважды повторяющимися немыми индексами подразумевается суммирование:

              (4.3)

Для наглядности последующих рассуждений представим тензор в виде матрицы:

,                       (4.4)

в которой индекс  = 0, 1, 2, 3 нумерует строки, а индекс  = 0, 1, 2, 3 – столбцы. Примем, что электрическое поле  направлено вдоль оси , а магнитное  – вдоль оси .

Уравнение (4.3) допускает раздельный анализ для временной координаты  = 0 и пространственной  = 1, 2, 3. Для первого варианта уравнение (4.3) при  имеет вид:

.                           (4.5)

Из матрицы (4.4) видно, что при  = 0 магнитное поле отсутствует вообще, а скорость  направлена вдоль поля . Известно, что для , где  – скорость света, возможно разложение величины , приведенной выше, в ряд по степеням , т.е. справедливо

.

Тогда для истинных траекторий движения зарядов в системе с по­тенциалом

,

где  – плотность зарядов;  – элемент объема, а  – расстояние от точки наблюдения до , в левой части уравнения (4.5) имеет место следующая аппроксимация

,                             (4.6)

что формализует обобщенный импульс  [98].

Далее, подставляя уравнение (4.6) в (4.5), при  и по­сле­дующем интегрировании выражения

приходим к равенству следующего вида:

По определению  – это работа электрических сил. Тогда  является внутренней энергией [100], поскольку левая часть данного равенства представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий. Отсюда, учитывая известное максвелловское распределение по скоростям , получаем требуемое выражение для определения скорости движения зарядов:

.                                (4.7)

Детальное описание величин , ,  и  приведено в рабо-
тах [101-103].

Следующий вариант анализа уравнения (4.3) связан с простран­ственными координатами  = 1, 2, 3 при заданной геометрии сил. Выбранные направления электрических и магнитных полей  и  при  = 2 приводят уравнение (4.3) и матрицу (4.4) к следующим видам:

,                                (4.8)

.                                   (4.9)

Здесь учитывается, что

   и   ,

как ковариантные компоненты 4-скорости. Для решения уравнений (4.8) и (4.9) умножаем уравнение (4.8) на мнимую единицу  и складываем уравнением (4.9). При этом получается следующее равенство:

,                      (4.10)

где  – представляет собой частоту циклотронных колебаний.

Последующий анализ этого равенства дан в [98]. Но если иметь в виду, что «компоненты скорости являются периодическими функциями времени», то в (4.10) возможна стандартная аппроксимация . В этом случае после очевидных преобразований имеет место выражение:

.                                        (4.11)

Подставляя данное значение  в выражение (4.8), получаем следующее равенство:

.                                 (4.12)

Таким образом, найденные значения скоростей (4.7) и (4.12) для временной и пространственных компонент уравнения (2.3), при их последующем использовании в уравнении (4.1), приводит к равенствам:

,                     (4.13)

.                            (4.14)

Очевидно, что при , имеет место , и уравнение (4.14) тран­сформируется в классическую формулу Друде для проводимостей твердых тел. Наиболее существенным моментом в полученном уравнении (4.14) является то, что данное уравнение при  обладает сверхпроводи-
мостью [104].

Таким образом, согласно уравнениям (4.13) и (4.14), искомая подвижность для растворов электролитов определяется выражением

,                   (4.15)

а для твердых тел

.                               (4.16)