Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

Инженерная графика. Краткий курс

Пиралова О. Ф.,

3.7. Пересечение прямой и плоскости

Для рассмотрения пересечения прямой и плоскости целесообразно начать с рассмотрения случая пересечения двух плоскостей (рис. 3.9), когда одна из пересекающихся плоскостей параллельна горизонтальной плоскости проекций (α |  | π₁, f⁰_α | | Х). В этом случае линия пересечения а, принадлежащая плоскости α, будет также параллельна плоскости π₁, (рис. 3.9. а), т. е. будет совпадать с горизонталью пересекающихся плоскостей (а ≡ h).

а                                             б                                             в

Рис. 3.8. Прямые, параллельные плоскостям, заданным:
а - плоскостью треугольника АВС;
б - двумя пересекающимися прямыми а ∩ b;
в - горизонтальным h⁰_α и фронтальным f⁰_α следами

Если одна из плоскостей параллельна фронтальной плоскости проекций (рис. 3.9. б), то линия пересечения а, принадлежащая этой плоскости, будет параллельна плоскости π₂ и будет совпадать с фронталью пересекающихся плоскостей (а ≡ f).

Пример построения точки пересечения (К) прямой а (АВ) с плоскостью α (DEF) показан на рис. 3.10. Для этого прямая а заключена в произвольную плоскость β и определена линия пересечения плоскостей α и β.

В рассматриваемом примере прямые АВ и MN принадлежат одной плоскости β и пересекаются в точке К, а так как прямая MN принадлежит заданной плоскости α (DEF), то точка К является и точкой пересечения прямой а (АВ) с плоскостью α. (рис. 3. 11).

Для решения подобной задачи на комплексном чертеже необходимо уметь находить точку пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения.

а                                                                б

Рис. 3.9. Частный случай пересечения плоскости общего положения с плоскостями: а - горизонтального уровня; б - фронтального уровня

Рассмотрим пример нахождения точки пересечения прямой АВ c плоскостью треугольника DEF представленный на комплексном чертеже (рис. 3.11).

Для нахождения указанной точки пересечения через фронтальную проекцию прямой А₂В₂ проведена фронтально проецирующая плоскость β которая пересекла треугольник по прямой MN. На фронтальной плоскости проекций (π₂) эта прямая представлена проекциями двух точек M₂, N₂. Из условия принадлежности прямой плоскости на горизонтальной плоскости проекций (π₁) находятся горизонтальные проекции полученных точек M₁ N₁. В пересечении горизонтальных проекций прямых А₁В₁ и M₁N₁ образуется горизонтальная проекция точки их пересечения (К₁). По линии связи и условиям принадлежности на фронтальной плоскости проекций находится фронтальная проекция точки пересечения (К₂).

Видимость отрезка АВ относительно треугольника DEF определена методом конкурирующих точек.

На плоскости π₂ рассмотрены две точки N ∈ EF и 1∈ AB. По горизонтальным проекциям этих точек можно установить, что точка N расположена ближе к наблюдателю (Y_N>Y₁ ), чем точка 1 (направление луча зрения параллельно S). Следовательно, прямая АВ, т. е. часть прямой АВ (К₁) закрыта плоскостью DEF на плоскости π₂ (ее проекция К₂1₂ показана штриховой линии). Аналогично установлена видимость на плоскости π₁. Определение видимости прямой в горизонтальной плоскости проекций можно при выполнении аналогичных операций.

Вопросы для самоконтроля

• 1. В чем заключается сущность метода конкурирующих точек?
• 2. Какие свойства прямой вы знаете?
• 3. Каков алгоритм определения точки пересечения прямой и плоскости?
• 4. Какие задачи называются позиционными?
• 5. Сформулируйте условия принадлежности прямой плоскости.