Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания
7.1.2. Одинаковые Pi
Как указывалось в главе 6, такие вероятности назначаются в том случае, когда о распределении вероятностей Pi известно только то, что оно ограниченно. Подобный вид априорной неопределенности довольно часто встречается на практике. Статистика обнаружения при релеевской модели отраженного сигнала соответствует выражению
(7.16)
где m = NL, индекс j соответствует задержке различных интервалов разрешения и периодов повторения, j = (k – 1)L + i. При реализации алгоритма (7.16) на универсальных ЭЦВМ необходимая машинная память 
ячеек, то есть почти вдвое меньше, чем при неодинаковых Pi, и машинное время 
, которое также меньше, чем 
.
Характеристическая функция статистики Λ12 при условии, что на входе приемника имеется M сигналов, отраженных от M элементов ПРЦ, записывается в виде
(7.17)
где φ0(t) и φ1(t) определяются выражением (7.7).
Вероятность правильного обнаружения равна
(7.18)
где m1 = N(L – M); m2 = NM; m = m1 + m2; C = 1/(1 + g).
Впервые эта формула получена в частном виде в [4]. Выражение в угловых скобках соответствует I2 (1,1 + g; m1, m2; T).
Вероятность ложной тревоги находится подстановкой C = 1, M = 0, P(M) = d(M) в (7.17) и выражается через неполную гамма-функцию:
(7.19)
Вычисление порога T согласно (7.19) следует проводить по одной из процедур FIN, GIN, приведенных в [2]. Практическое вычисление характеристик обнаружения по (7.18) возможно при m1, m2, меньших 20, что также объясняется конечным числом разрядов представления чисел на ЭЦВМ. Однако при больших четных m вероятность правильного обнаружения можно определить либо путем численного интегрирования по формуле [4]
(7.20)
либо по приближенным формулам, полученным в результате разложения плотности вероятности f(Λ12) в ряды Эджворта [1] или Лагерра [5,6]. Вычисления статистических характеристик, использующие ряд Эджворта, формализованы в процедуре FRSH, а ряд Лагерра – в процедуре POLLAG. Обе процедуры приведены в [2]. Семиинварианты, определяющие коэффициенты этих рядов, вычисляются по формуле:
Lr = (r – 1)![m2(1 + g)r + m1]. (7.21)
Характеристики обнаружения квазиоптимального алгоритма (7.16), рассчитанные по точным аналитическим выражениям, показаны на рис. 7.1–7.3. Анализ построенных зависимостей приводит к выводу, что в целом вероятность правильного обнаружения существенно зависит от параметров η и ν априорного распределения числа элементов ПРЦ. Этот вывод подтверждают графики на рис. 7.4. При малых отношениях сигнал/шум вероятность правильного обнаружения практически инвариантна к η и ν. При средних и больших 
величина D оказывается наибольшей для многоэлементной ПРЦ. Сравнение оптимального (6.24) и квазиоптимального (7.16) алгоритмов показывает, что они эквивалентны при числе элементов ПРЦ, равном числу интервалов разрешения (P(M) = δ(M – L)). В этом состоит еще одно достоинство алгоритма с аналоговым накоплением.
а б
Рис. 7.1. Характеристики обнаружения алгоритма (7.16)
при фиксированном первом параметре априорного распределения:
а – F = 10–4; б – F = 10–6
а б
Рис. 7.2. Характеристики обнаружения алгоритма (7.16)
при фиксированном втором параметре:
а – m = 8; б – m = 16
На рис. 7.5 представлены зависимости максимально возможной вероятности правильного обнаружения Dmax для четырех видов априорного распределения, уже рассматривавшихся в параграфе 6.3. При построении графиков для заданного отношения сигнал/шум выбиралось максимальное значение D при изменении m от 1 до ∞ и фиксированных прочих параметрах. Как и следовало ожидать, наибольшее Dmax имеет многоэлементная ПРЦ. При малых отношениях сигнал/шум влияние априорных распределений на Dmax практически незаметно.
а б
Рис. 7.3. Характеристики обнаружения алгоритма (7.16)
при различных параметрах квазигауссового распределения:
а – m = 8; б – m = 16
а б
Рис. 7.4. Влияние изменения второго (а) и первого (б) параметров
на вероятности правильного обнаружения
На рис. 7.6 показаны графики зависимостей числа m0 = L0N0, при котором вероятности правильного обнаружения соответствуют наибольшим значениям Dmax.
Имеется существенное отличие в оптимальном числе m0 для малоэлементной ПРЦ по сравнению с другими видами априорных распределений. При малых отношениях сигнал/шум и m0 = 1 уменьшение уровня ложной тревоги приводит к сдвигу всех зависимостей D = D(η, νg) вправо по оси 
и незначительному изменению их формы и взаимоположения. На основании графиков на рис. 7.6 при заданном отношении
сигнал/шум и известных размерах ПРЦ выбирается оптимальная величина объема разрешения, являющаяся одним из наиболее важных параметров зондирующего сигнала.
а б
Рис. 7.5. Максимально достижимые вероятности правильного обнаружения алгоритма (7.16):
а – F = 10–4; б – F = 10–6
Рис. 7.6. Оптимальное число объемов разрешения алгоритма (7.16)
в области наблюдения