Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

ПРИЁМ И ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ ОТ СЛОЖНЫХ ЦЕЛЕЙ

Доросинский Л. Г., Трухин М. П.,

6.3. Реализация и анализ оптимальных алгоритмов обнаружения и оценивания

В параграфе рассмотрены примеры реализации на ЭЦВМ оптимального алгоритма обнаружения и оценивания ПРЦ с релеевским распределением амплитуд и получены некоторые результаты анализа реализованных алгоритмов.

Вернемся к приведенной схеме (6.26) оптимальной обработки сигналов при условии, когда в одном объеме разрешения может быть не более одной точечной цели. Текущий граф этой схемы для трех соседних интервалов разрешения показан на рис. 6.12. Горизонтальные стрелки соответствуют сложению, наклонные – умножению на exp (xi). Массив чисел имеет переменную размерность, число его элементов равно числу принятых сигналов. Очевидно, максимальная размерность этого массива равна L – числу всех интервалов разрешения в области наблюдения. Реализация приведенной схемы, работающей согласно графу на рис. 6.12, требует L массивов различной размерности от 1 до L с общим объемом элементов L(L + 1)/2.

Рис. 6.12. Текущий граф приведенной схемы (6.26) при обработке сигналов от соседних объемов разрешения

Чтобы избежать использование таких объемов памяти, необходимо реализовать приведенную схему (6.26) в другом, противоположенном описанному этим графом направлении. Вычисление элементов массива размерности L начинается с номера i, соответствующего номеру последнего интервала разрешения, «с конца» массива (см. рис. 6.13, а). Каждый следующий элемент (его номер на единицу меньше, чем предыдущий), определяется по формуле

(6.44)

На рис. 6.13, б последовательность вычислений элементов изображена жирной линией, а связи между ними – тонкими. Большие дуги соответствуют умножению на exp(xi) и сложению, малые – простому сложению. Перед началом наблюдения массив обнуляется, S0 = 1. Таким образом, для реализации приведенной схемы (6.26), кроме рабочей памяти, требуется L ячеек, то есть ПΛ = L.

а

б

Рис. 6.13. Взаимные связи (а) и текущий граф (б) при реализации
приведенной схемы с использованием одного массива

Оценим машинное время T, необходимое для обработки сигнала от i-го интервала разрешения. Для этого представим приведенную схему вычислений (6.26) в виде блок-схемы рис. 6.14. Она состоит из 7 блоков, причем арифметические операции выполняются в блоках 1 и 2 – один раз на каждый принятый сигнал, и в блоках 5 и 7 – i раз на принятый сигнал. Время на обработку более поздних отраженных сигналов увеличивается почти пропорционально задержке (рис. 6.15). Максимальное время на обработку одного сигнала соответствует времени обработки последнего L-го сигнала:

ΔTmax = t+ + texp + (L – 1)(t+ + t×), (6.45)

где t+, t× и texp – время операций сложения, умножения и экспонирования. Если временной интервал между принятыми сигналами меньше ΔTmax, то обработка в реальном времени невозможна. Общее машинное время на реализацию приведенной схемы на ЭЦВМ (за исключением операций пересылок и управления) равно

Tпс = Lt+ + Ltexp + L(L – 1)(t+ + t×)/2. (6.46)

Машинное время T на реализацию всего оптимального алгоритма (6.25) увеличивается по сравнению с Tпс незначительно: TΛ = Tпс + Mмакс(t× + t+). Здесь также не учтены операции управления и пересылки, осуществляемые параллельно с арифметическими операциями.

Рис. 6.14. Блок-схема подпрограммы вычисления оптимальной статистики

Рис. 6.15. Временная диаграмма вычислений после приема i-го сигнала

Следует отметить, что в выражениях (6.45) и (6.46) время на вычисление экспоненты существенно больше времени операций умножения и сложения. Однако доля слагаемого Ltexp с ростом L снижается и уже при L > 10–15 она практически незаметна.

Основным препятствием для реализации на ЭЦВМ как алгоритма (6.25), так и других оптимальных алгоритмов, является требование работы с большими по величине числами, обусловленное наличием на входе всех алгоритмов экспоненциального преобразования. Для таких чисел необходимо увеличивать размеры регистра арифметического устройства, памяти и так далее, причем соответственно возрастает время на выполнение арифметических операций. Чтобы исключить этот недостаток, следует отказаться от экспоненциального преобразования. Тогда статистики должны соответствовать натуральным логарифмам от статистик Si приведенной схемы (6.26). В свою очередь она примет вид:

(6.2)

где если

если .

Блок-схема реализации (6.47) приведена на рис. 6.16, где принято S(0) = 0.

Анализ временной диаграммы вычислений статистики (рис. 6.17) показывает, что максимальное время на обработку отсчета отраженного сигнала

(6.48)

где t↓, t=≤, и tln – время выполнения операций пересылки, сравнения и логарифмирования соответственно. Если больше интервала времени между отсчетами, то обработка сигналов в реальном времени невозможна. Общее машинное время на реализацию приведенной схемы (6.47) на ЭЦВМ равно

(6.49)

Уменьшение времени вычислений в первую очередь может быть получено за счет уменьшения tln и texp. Функция f(x) = ln(1 + exp(x)) с заданной точностью Δ может быть представлена суммой ограниченного числа членов разложения реализация которой по схеме Горнера требует K сложений и умножений.

Коэффициенты ak и ошибки вычислений ΔK для K = 3 и K = 4 приведены в табл. 6.1. При K = 3 величины ΔTK и  равны:

ΔTK = t× + L(6t+ + 3t× + 5t↓ + t=≤);

(6.50)

Рис. 6.16. Блок-схема подпрограммы вычисления оптимальной статистики
при использовании малоразрядных ЭЦВМ

Рис. 6.17. Временная диаграмма вычислений в малоразрядных ЭЦВМ

Относительная ошибка вычислений статистик может накапливаться, поэтому выбор K является компромиссом между окончательной точностью и скоростью вычислений. Однако величина ΔK всегда должна быть не меньше ошибки (оцифровки) сигнала. Например, при квантовании сигнала на 11 и менее уровней значение K должно больше 3.

При моделировании оптимальных алгоритмов основное внимание было уделено исследованию оценивания дискретной функции распределения числа элементов Pps(M) при априори известном отношении сигнал/шум и релеевской модели отраженных сигналов. Блок-схема алгоритма оценивания приведена на рис. 6.3. Массив статистик вычисляется согласно приведенной схеме (6.47) по алгоритму, показанному на рис. 6.16. Эти алгоритмы реализует программа «Оценка».

При анализе алгоритмов оценивания в качестве начальных («априорных») были выбраны четыре распределения (L = 8):

1. Равномерное распределение

2. Распределение для малоэлементной ПРЦ

3. Распределение для многоэлементной ПРЦ

4. Квазигауссовое распределение ПРЦ

Было проведено исследование четырех характерных случаев количественного состава ПРЦ:

а) M = 1;

б) M = 2;

в) M = 4;

г) M = 8.

Информационные направленные расхождения по Кульбаку [9] между априорными и действительными распределениями приведены в табл. 6.2. Общее число периодов зондирования ПРЦ равнялось 16, отношение сигнал/шум для каждого отраженного сигнала было одинаковым и могло принимать четыре значения: –12 дБ, –7 дБ, –2 дБ и +3 дБ.

На рис. 6.18 показаны оценки распределений («апостериорные» распределения) числа элементов при обработке сигналов от ПРЦ, имеющей четыре элемента (M = 4). При отношении сигнал/шум g = –3 дБ (рис. 6.18, а) начальные распределения изменяются несущественно, оценка Pps(M) практически совпадает с Pa(M) для . Если увеличить g в четыре раза (g = +3 дБ, рис. 6.18, б), то вид распределения Pps(M) с увеличением N изменяется уже существенно. Очень быстро стремится к действительному распределению при начальном равномерном распределении. Медленнее приближается Pps(M) к P(M) при начальном квазигауссовом распределении. Оценки распределений Pps(M) при начальных втором и третьем, не показанном на рис. 6.18 распределениях, сходятся к действительному распределению значительно медленнее, чем при первом и втором.

Таблица 6.1

Коэффициенты аппроксимирующего полинома

Коэффициенты

Интервал аппроксимации

Порядок полинома 3

Порядок полинома 4

а0

0,6845

0,7017

а1

0,4751

0,5000

а2

0,1178

0,1121

а3

0,0101

0,0000

а4

–

–0,0019

Абсолютная ошибка вычислений ΔK

0,0075

0,016

Таблица 6.2

Информационные расхождения по Кульбаку между априорными Pa(M) и действительными P(M) распределениями

P(M)

M = 1

2,0794

0,3053

20,7944

10,4413

M = 2

2,0794

1,5762

4,8136

4,7246

M = 4

2,0794

4,8136

1,5462

0,9967

M = 8

2,0794

20,7944

0,3053

10,4413

Это объясняется слишком большой долей неверной априорной информации, закодированной во втором и четвертом начальных распределениях. Анализ других ситуаций также показывает, что вид начального распределения существенно влияет на оценку Pps(M). Поэтому при обработке сигналов от ПРЦ с числом элементов, меняющемся в широких пределах и априори неопределенном, следует в качестве начального распределения выбирать равномерное. Скорость сходимости оценки при этом небольшая. Например, при оценивании Pps(M) для ПРЦ с одним элементом максимум Pps(M) при начальном равномерном распределении совпадает с максимумом при начальном втором распределении, наиболее близком к действительному, уже после восьмого периода для g = +3 дБ (рис. 6.19).

Рис. 6.18. Оценки распределений при отношении сигнал/шум – дБ (а), +3 дБ (б)

Рис. 6.19. Сходимость апостериорных распределений
в зависимости от номера периода повторения:
1 – равномерное; 2 – ближайшее априорное распределение

Рис. 6.20. Среднеквадратичные оценки при обработке сигналов и M = 1

На рис. 6.20 приведены графики зависимости среднеквадратичной оценки числа элементов для одноэлементной ПРЦ. Для отношений сигнал/шум, начиная с g > 2 дБ, среднеквадратичная оценка при начальном равномерном распределении быстро сходится к действительному значению, равному единице. В то же время изменение этой оценки при втором начальном распределении несущественно в диапазоне от –12 дБ до +3 дБ, что является следствием слишком большой доли истинной априорной информации в этой оценке.

Графики, показанные на рис. 6.21 описывают зависимости оценок максимального правдоподобия и максимума апостериорной вероятности от текущего номера периода повторения. На рис. 6.21, а цифрой 3 отмечена оценка по максимуму апостериорного распределения при обработке сигналов от ПРЦ с 8 элементами (начальное распределение для многоэлементной ПРЦ). Она совпадает с точным значением практически при всех отношениях сигнал/шум в любом периоде повторения, т. е. доля истинной априорной информации в ней почти равна единице. На этом же рисунке приведены зависимости оценок максимального правдоподобия (начальное распределение – равномерное) при обработке сигналов от ПРЦ с M = 8 и M = 4. Изломанность зависимостей объясняется малым числом испытаний (Q = 10).

а б

Рис. 6.21. Оценки максимальной апостериорной вероятности при M = 8 и M = 4 (a), M = 2 и M = 1 (б)

Оценка максимального правдоподобия, так же как и среднеквадратичная оценка, почти совпадает с точным значением M при g = +3 дБ и k ≥ 8. На рис. 6.21, б приведены зависимости оценок по максимуму апостериорного распределения при M = 4 (отмечено цифрой 4) и M = 1 (отмечено цифрой 2). В обоих случаях распределение соответствовало априорному для данного типа ПРЦ. Обе оценки практически совпадают с точным значением M. Там же приведены зависимости оценки по максимуму правдоподобия M = 1. При g = +3 дБ и k > 5 эта оценка совпадает с действительным значением.

Итак, проведённый анализ оптимального алгоритма оценивания показал:

1) если отношение информационного расхождения ΔI1 между истинным и априорным к информационному расхождению ΔI2 между истинным и равномерным менее 0,10–0,15, то оценивание проводить не нужно, т. к. априорное практически совпадает с истинным;

2) если это отношение заключено в пределах от 0,15 до 1, то в качестве начального следует использовать априорное распределение;

3) если это отношение превышает единицу, то в качестве начального следует выбрать равномерное распределение.

На основании этого вывода предлагается следующий комбинированный алгоритм оценивания:

Шаг 1. Получить апостериорное распределение при начальном распределении, соответствующем априорному Pa(M).

Шаг 2. Получить апостериорное распределение при начальном распределении, соответствующем равномерному Pp(M) = 1/Mмакс.

Шаг 3. Вычислить информационные расхождения

(6.3)

Шаг 4. Если ΔI1 > ΔI2, то в качестве окончательного апостериорного распределения принять , в противном случае – .

При этом вычислительные затраты возрастают вдвое, однако, в значительной мере устраняются ошибки, вызванные неправильным выбором начального распределения и, таким образом, снижается влияние априорной неопределенности на результаты обнаружения и оценивания. В любом случае структура предложенного комбинированного алгоритма оценивания не зависит от модели отраженного сигнала и числа объемов разрешения.

Более детальное моделирование оптимального алгоритма (6.28) проводилось в среде системы MATLAB [10]. Была использована релеевская модель сигнала, принимаемого от элементов ПРЦ на фоне независимых шумов. Сама цель представляла собой двумерное образование с L = 20×20 = 400 объёмами разрешения и с тремя сосредоточенными фрагментами, состоящими из M = 16 независимых элементов (рис. 6.22). Величина уровня принимаемого сигнала определялась групповым отношением сигнал/шум G, задаваемого для всех 16 элементов, распределённых по трём фрагментам. Следовательно, при G = 20 дБ (отношение сигнал/шум, равное 100 раз по мощности) отдельный элемент создавал на входе приёмника отраженный сигнал мощностью в 100/16 = 6,3 раза больше мощности шума. Оценивание числа целей проводилось по критерию максимума правдоподобия (принималось априори равномерное распределение).

Рис. 6.22. «Зашумлённое» изображение ПРЦ с локальными фрагментами

Результаты моделирования представлены на рис. 6.23. С целью более наглядного представления этих результатов на изображении яркостные показатели мощности от отдельных элементов разрешения нормированы к максимальной из них и затем квантованы на 10 уровней. Реализации изображений на рис. 6.23, а и в имеют большой разброс по уровням яркости, поэтому выглядят достаточно «бледно». После обработки 500 подобных реализаций оптимальным алгоритмом уровни сигнала и шума при G = 10 дБ различаются несущественно, но вполне отчётливо (рис. 6.23, б). Увеличение отношения сигнал/шум до 20 дБ (рис. 6.23, г) обеспечивает такой контраст среди ЭП, что шумовой фон после оптимальной обработки становится почти незаметным.

Другой моделью изображения была выбрана совокупность L = 121 элементов разрешения, представленных в виде матрицы размером 11×11 элементов. В центре матрицы расположен двумерный объект – «чёрный квадрат» размером 5×5 элементов. Определялись параметры этого объекта (число элементов и координаты центра). Двумерное представление результата
обработки представлено на рис. 6.24, а «геодезически» в виде 10 линий уровня яркости. Влияние шума не наблюдается выше линий второго уровня. Неравномерность в области «вершины» – области одинаковых по ЭПР отражателей – также находится в пределах двух верхних уровней.

а б

в г

Рис. 6.23. Изображение до (а и в) и после (б и г) выделения фрагментов ПРЦ
при отношении сигнал/шум 10 дБ и 20 дБ соответственно

На рис. 6.24, б приведено такое же «геодезическое» представление результатов моделирования алгоритма простого усреднения статистического ансамбля реализации. Этот «простой» алгоритм часто используется при выделении статистически независимых параметров сигналов. Улучшение качества выделения яркостных образований оптимальным алгоритмом по сравнению с «простым» усреднением отсчётов модельного изображения в данном случае очевидно.

а б

Рис. 6.24. Выделение «чёрного квадрата» оптимальным алгоритмом (6.28) (а)
и алгоритмом с простым усреднением (б)

Представленные на рис. 6.23 и 6.24 результаты моделирования оптимального алгоритма в виде приведённой схемы подтверждает высокую вычислительную эффективность предложенной процедуры и могут быть использованы также при статистической обработке изображений, представленных большим объёмом отдельных независимых элементов (пикселей).

Некоторые итоги исследований, опубликованные в статьях [11, 12, 13], показывают теоретическую и практическую значимость предложенных в главе оптимальных алгоритмов обнаружения и оценивания параметров пространственно-распределённых целей.