Теоретический напор идеальной турбомашины (величина приращения удельной энергии текучего при прохождении через колесо) зависит от геометрических и кинематических параметров рабочего колеса.
Для вывода этой зависимости вновь воспользуемся решеткой профилей (рис. 2.10) для случая, когда вязкость текучего равна нулю, т. е. при отсутствии силы лобового сопротивления лопасти (∆Q = 0).
Рис. 2.10. Решетка профилей с усилиями на лопасти |
Проф. К. А. Ушаков применительно к турбомашине предложил подъемную силу ∆Р разложить в направлении оси решетки ∆Ра и окружной скорости ∆Pu. Первая обусловливает движение текучего по оси и создает тягу турбомашины, а вторая – сопротивление вращению колеса ∆Pu.
Усилие ∆Pu на элементе одной лопасти
(2.28)
Вместо ∆Р в формулу (2.28) подставляем его значение из формулы (2.1) и получим
(2.29)
где ∆l = Δr – длина элемента лопасти; Гл – циркуляция вокруг одной лопасти; ρ – плотность текучего, кг/м3; WТ – средняя скорость потока, м/с.
Усилие, необходимое для перемещения всей решетки,
(2.30)
Из треугольника скоростей (см. рис. 2.10) следует, что и формула (2.29) несколько упростится
(2.31)
где – осевая скорость незакрученного потока через элементарный расход – q, м/с;
Крутящий момент для вращения решетки профилей, расположенных на расстоянии r от оси турбомашины,
(2.32)
Мощность, затрачиваемая на создание этого крутящего момента, выражается зависимостью
(2.33)
С другой стороны, мощность на валу теоретической идеальной турбомашины составляет
(2.34)
где q – элементарная подача машины; её находим в соответствии с формулой (2.31).
Произведя подстановку в формулу (2.34) значения q, имеем
(2.35)
Так как потерь в турбомашине нет, то, приравнивая друг другу значения мощности, получим
(2.36)
Отсюда теоретический напор турбомашины
(2.37)
Теоретический напор турбомашины, выраженный в метрах столба текучего, не зависит от рода текучего. Он всецело определяется циркуляцией вокруг лопастей, числом лопастей и угловой скоростью вращения решетки [5].
В случае отсутствия вязкости жидкости циркуляция вокруг лопасти Гл равна нулю и теоретический напор турбомашины также равен нулю. Следовательно, передача энергии от решетки к потоку возможна только в реальных вязких жидкостях.
Напор центробежной турбомашины:
(2.38)
Напор осевой турбомашины:
(2.39)
Так как напор осевой турбомашины пропорционален окружной скорости, а последняя изменяется по длине лопасти, то для предупреждения перетекания потока вдоль лопасти необходимо, чтобы Гл была постоянной величиной. Следовательно, для сохранения Гл произведение bСу должно расти, так как W снижается с уменьшением радиуса r. Это обеспечивается использованием крученых лопастей, у которых по мере уменьшения радиуса r возрастает ширина лопасти b и одновременно изменяется угол их установки θ.
Основное уравнение идеальной машины
(2.40)
где C2u∞ и C1u∞ – проекции абсолютных скоростей текучего в рабочем колесе с бесконечным числом лопастей.
В теоретической турбомашине отсутствуют утечки текучего через зазоры между подвижными и неподвижными частями машины из полостей повышенного давления в полости пониженного давления и не принимается во внимание толщина самих лопастей. Поэтому производительность такой машины определяется количеством текучего, проходящего через ее рабочее колесо. Расход текучего через любое сечение, м3/с:
(2.41)
где С – средняя скорость текучего, м/с; F – сечение потока, нормальное к скорости С, м2.
Теоретическая производительность центробежной машины
(2.42)
где С0 – скорость входа воды в колесо, м/с; C1r и С2r – радиальная скорость на входе и выходе, в современных турбомашинах C1r = C2r, м/с; D1 и D2 – диаметр входа и выхода колеса, м; b1 и b2 – ширина лопаток колеса на входе и выходе, м.
Теоретическая производительность осевой машины, м3/с
(2.43)
где D – внешний диаметр колеса, м; d – диаметр втулки, м; π/4·(D2 – d2) – отметаемая площадь лопастями колеса, м2.