Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

2.5. Частотно-временная локализация

Свойство частотной и временной локализации вейвлет-функций может быть охарактеризовано концентрацией их энергии в частотной и временной областях, или посредством частотно-временных окон [54, 75, 100].

Построение частотно-временных окон основывается на определении вторых центральных моментов (дисперсии) функций 1084.wmf и 1085.wmf, квадратный корень из которых как раз характеризует область наибольшей концентрации энергии.

Рассчитаем первый начальный (математическое ожидание) и второй центральный моменты функции 1086.wmf следующим образом:

1087.wmf (2.40)

1088.wmf (2.41)

где 1089.wmf – норма базисной вейвлет-функции.

Тогда после замены переменной 1090.wmf и преобразований, связанных с ее введением под знак интеграла, получим:

1091.wmf

Поскольку норма и энергия вейвлет-функции взаимосвязаны соотношением таким, что 1092.wmf, в то время как 1093.wmf представляет собой первый начальный момент функции ψ(t′), оказывается очевидным тот факт, что результирующее выражение для μ1 принимает вид:

1094.wmf (2.42)

Другими словами, всякая дилатация, осуществляемая над материнской вейвлет-функцией, приводит к пропорциональному увеличению расстояния между центрами тяжести ее клонов.

Подставим выражение (2.29) в выражение для второго центрального момента вейвлет-функции, в результате чего получим:

1095.wmf

Введя в данном выражении обозначение 1096.wmf, перепишем его в следующем виде:

1097.wmf (2.43)

Выражение (2.30) определяет величину, представляющую собой квадрат диаметра вейвлет-функции, рассматриваемой во временной области.

Сказанное означает, что вейвлет-функция занимает временное окно

1098.wmf (2.44)

а также обладает носителем 1099.wmf с центром в точке b + μ1a.

Можно сказать, что сингулярность сигнала f(t), рассматриваемая в точке μ1, может быть аппроксимирована с меньшей погрешностью при задании меньших значений масштабирующей переменной вейвлета, т.е. при попадании на плоскости (a, b) в так называемый угол влияния. В то же время, значение функции CWTf(a, b) в точке (a0, b0) может быть определено по значению сигнала f(t), взятому в точке b0 при условии попадания в такой же угол. Мелкомасштабные сингулярности сигнала получают наилучшее отображение на плоскости (a, b) в случае задания малых значений переменной a вейвлет-функции, одновременно с этим претерпевая сглаживание при больших ее значениях, которые, в свою очередь, способствуют проявлению, как раз напротив, ламинарностей сигнала.

Определим аналогичным образом локальные свойства вейвлет-функции в частотной области, полагая, что 1100.wmf представляет собой второй центральный момент образа Фурье 1101.wmf функции.

С целью записи континуального вейвлет-преобразования в частотной области воспользуемся нотацией Фурье, а также равенством Парсеваля:

1102.wmf

т.е. констатируем тот факт, что вейвлет-преобразование представляет собой полосовой фильтр с настройкой ω0 и шириной полосы пропускания 1103.wmf. Действительно, процедура дилатации, осуществляемая над вейвлет-функцией во временной области, соответствует обратному изменению ширины полосы пропускания фильтра в спектральной области: например, при уменьшении ширины носителя вейвлет-функции полоса пропускания фильтра увеличивается и наоборот.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что вейвлет-преобразование обеспечивает информацией о спектре сигнала в полосе частот 1104.wmf, т.е. в окне 1105.wmf, имеющем носитель 1106.wmf.

Свойство вейвлет-функций осуществлять спектральный анализ сигналов с постоянной добротностью, можно подтвердить также тем фактом, что площадь частотно-временного окна, занимаемого вейвлет-функцией, также остается неизменной для любых значений масштабирующей переменной и равной 1107.wmf (рис. 2.6). Данное свойство удовлетворяет принципу неопределенности Гейзенберга, утверждающему, что увеличение носителя вейвлет-функции во временной области приводит к уменьшению ее спектральной полосы и, наоборот, временное сжатие функции соответствует увеличению носителя ее образа Фурье [54, 69, 75, 100].

2_6.tif

Рис. 2.6. Частотно-временное окно вейвлет-функции


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674